У Яндекс.Музыки есть неофициальный API который они используют в своих приложениях для iOS/Android.
Я написал библиотеку для Node.js для работы с ним: https://github.com/itsmepetrov/yandex-music-api
В репозитории можете посмотреть как все устроено.
Илья Гойлик: видимо в тексте новости на сайте Яндекса, слово API случайно залетело.
Да, это конечно не то полноценное API которое дает доступ к всему функционалу. Но, на данный момент, это единственная возможность как-то обращаться к сервису.
Andrew, Илья Гойлик прав, это не API Яндекс.Музыки, это API Яндекс.Плеера, который никак не связан с Музыкой, просто плеер. В него ссылки на медиафайлы нужно закидывать, чтобы он пел :) А это не всегда юридически хорошо, так что оригинального варианта от Яндекс по работе с Музыкой нет.
Но, библиотека на node.js, которую посоветовал Антон Петров если рабочая, то можно адаптировать под сайт легко, ну как и для любой платформы в целом, я думаю.