Задачка по линейной алгебре. Пересечение плоскостей в точке?

Question

[ivan2kh]

Почему-то мне очень понравилась эта задачка. Я попытал несколько способов ее решения и получил кучу удовольствия в процессе.

Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке? (Речь идет о линейном пространстве)

Взята из «Гельфанд И.М. — Лекции по линейной алгебре».

Comments

[ComodoHacker]

Я забыл, плоскость в ЛП это N-1 или просто <N?

[ivan2kh]

Плоскость задается двумя линейно независимыми векторами (N=2).
btw еще никто не показал алгебраическое решение задачи.

Answer 1

[Stdit]

Чтобы плоскости пересеклись в точке, надо одну из них повернуть слегка по оси времени, чтобы она превратилась в прямую, отправляющую две половины этой самой плоскости в прошлое и будущее. Тогда точка пересечения этой прямой и будет искомой точкой. Как-то так?

Comments

[ivan2kh]

Это правильный ответ. Геометрическая интерпретация.
Но он мне мозг ломает, когда представляю как плоскость поворачивается по оси времени, да еще и слегка:-)

[niko83]

Я думал что на вопрос начинающийся со слов «Каково наименьшее число ...» в ответе должна фигурировать цифра, а потом, если не обходимо, рассуждения и объяснения.

[Akson87]

Эм… а что такое ось времени и что значит повернуть вокруг нее? Я что-то упустил в математике или просто у меня нет нужной травы?:)

Answer 2

[SmartFrog]

Попробую написать аналитический ответ.

N=1 — плоскостей нет

N=2 — все плоскости совпадают, то есть имеют бесконечное количество точек пересечения.

N=3 — плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.
Докажем это.
Возьмем две пересекающиеся плоскости в трёхмерном пространстве. Их уравнения можно записать так:

A1*x+B1*y+C1*z = D1.

A2*x+B2*y+C2*z = D2.

При повороте количество точек пересечения не изменится, поэтому мы можем повернуть плоскости так, чтобы A1 было ненулевым. Тогда:

x = (D1-B1*y-C1*z )/A1,
A2*(D1-B1*y-C1*z )/A1+B2*y+C2*z = D2.

Пусть плоскости пересекаются в точке (x0,y0,z0), то есть, эта точка является решением двух вышестоящих уравнений. Подставим в уравнения y0+1, и решим систему (не буду продолжать выкладки, думаю, это довольно очевидно). Получим вторую точку пересечения. Единственное предположение, которое мы делали, что две наши плоскости пересекаются хотя бы в одной точке. Таких точек, если они есть, всегда больше одной, то есть N=3 не является решением задачи.

N=4
В четырехмерном пространстве плоскость задается системой двух линейных уравнений от четырех переменных: x, y, z и t.
Приведем пример, когда две плоскости пересекаются в одной и ровно в одной точке. Первая плоскость образована осями абсцисс и ординат:

z=0,
t=0. 

Вторая плоскость образована осью аппликат и осью, традиционно называемой осью времени:

x=0,
y=0.

В четырехмерном пространстве только одна точка находится на обеих этих плоскостях (удовлетворяет обеим системам уравнений). Это начало координат (0,0,0,0), то есть ответ — 4.

Очевидно, что при N>4 можно взять четырехмерную гиперплоскость, и в ней приведенный пример будет работать.