По каким формулам вычислить новые координаты объекта в трёхмерном пространстве при относительном перемещении?

Question

[Вадим Чернов]

С прошлого года мучаюсь вопросом, ибо своего воображения не хватает.
Дано:
Координаты x, y, z объекта в пространстве - абсолютные;
Углы поворота объекта по всем трём осям в градусах - повороты относительно абсолютного вектора, так сказать.
Задача:
Вычислить смещения по всем осям в абсолютных координатах для смещения в локальных для объекта дельтах: dX, dY, dZ.

Как я понимаю решить сие можно с помощью элементарных познаний в тригонометрии, школьными синусами и косинусами. Но это было давно, воображение у меня не держит три оси одновременно и т.д.
Чувствую матрицы бы решили все проблемы, да и так удобнее хранить данные о координатах и векторе... Но важно решить задачу на таком уровне абстракции: вещественные координаты и углы поворота в градусах.

Нужен метод объекта:

объект->передвинься(на 2 вправо, на 1.5 вверх, на 15 назад)

Может быть что-то из библиотеки Qt уже умеет решать такие задачи? (QTransform увы только для 2D и матриц QMatrix3x3).

public void moveRelativeBy(float deltaX, float deltaY, float deltaZ)
{
this->position.x += // ???
this->position.y += // ???
this->position.z += // ???
}

Answer 1

[suslik2015]

Перенос точки с координатами (x,y,z) на вектор (dx,dy,dz) делается простым сложением всех координат. То есть результат - это (x+dx,y+dy,z+dz).

Но важно решить задачу на таком уровне абстракции: вещественные координаты и углы поворота в градусах.

Поворот на угол alpha вокруг оси Z очевиден:
x' = x*cos(alpha)-y*sin(alpha)
y' = x*sin(alpha)+y*cos(alpha)
z' = z
Аналогичные формулы получатся и для других осей поворота (то есть Ox, Oy). Поворот относительно произвольной оси, проходящей через начало координат, можно сделать с помощью этих поворотов - сделать поворот относительно Ox так, чтобы ось поворота стала перпендикулярна Oy, затем поворот относительно Oy так, чтобы ось поворота совпала с Oz, сделать собственно поворот, а затем обратные повороты относительно Oy и Ox. Можно даже вывести формулы для такого поворота и убедиться в том, что они очень громоздкие. Поэтому и используются матрицы. Кроме того, матрицы дают существенную оптимитизацию.
А вообще лучше сразу юзать кватернионы. У углов Эйлера есть серьезный недостаток - так называемый шарнирный замок.

Comments

[xmoonlight]

а по-подробней можно про (как их...) О! кватернионы!

Answer 2

[xmoonlight]

транспонирование матриц читайте...

Comments

[Вадим Чернов]

Спасибо. Очень не помогло. Выделил в вопросе курсивом предложение "Чувствую матрицы бы решили все проблемы, да и так удобнее хранить данные о координатах и векторе... Но важно решить задачу на таком уровне абстракции: вещественные координаты и углы поворота в градусах."

[Евгений]

Xatory: а транспонирование матриц и делается через синусы/косинусы, так что берите формулы и делайте

[suslik2015]

xmoonlight:

транспонирование матриц читайте...

Nc_Soft:

а транспонирование матриц и делается через синусы/косинусы, так что берите формулы и делайте

falsepalm

[Евгений]

suslik2015: прежде чем фейспалмить про направляющие косинусы почитай

[suslik2015]

Nc_Soft
Может вам самим чего-нибудь пора почитать? Учебник для первокурсников, например.
Приведите формулу нахождения транспонированной матрицы, через направляющие косинусы. Зачем это вообще может потребоваться? и как получение транспонированной матрицы поможет решить поставленный вопрос?

Answer 3

[Mrrl]

Сначала вам надо чётко определить, что такое "Углы поворота объекта по всем трём осям". Поскольку повороты не коммутируют, то задание поворота несколькими углами - это всегда последовательность поворотов относительно некоторых осей на определённый угол (или поворот вокруг одного вектора - но это уже кватернионное представление). Например, углы Эйлера - последовательность поворотов относительно OZ, OX и снова OZ.
Если у вас объект получается из базового объекта последовательностью поворотов (OX,a), (OY,b), (OZ,c) (a,b,c - углы в радианах), и есть вектор (dx,dy,dz) в локальной системе координат повёрнутого объекта, то получить сдвиг объекта на этот вектор в глобальной системе координат можно так:
dy1=cos(a)*dy+sin(a)*dz; dz1=-sin(a)*dy+cos(a)*dz; // поворот относительно OX
dx1=cos(b)*dx-sin(b)*dz1; dz2=sin(b)*dx+cos(b)*dz1; // поворот относительно OY
dx2=cos(c)*dx1+sin(c)*dy1; dy2=-sin(c)*dx1+cos(c)*dy1; // поворот относительно OZ
Тогда (dx2,dy2,dz2) - искомый вектор сдвига.
Если углы заданы в градусах, они переводятся в радианы умножением на pi/180.
Общее правило: преобразование координат, которое использовалось для перемещения объекта из его базового состояния в текущее - это то же преобразование, которое используется для перевода координат из текущей локальной системы координат объекта в глобальную.

Comments

[Вадим Чернов]

"Углы поворота объекта по всём трём осям" - это я имею ввиду следующее: угол по оси Х - это угол вращения по оси Х, то есть этот угол будет подставлен в glRotatef(X, 1, 0, 0)... Аналогично для двух других осей.
Я так понимаю (dx2, dy2, dz2) - эти значения нужны прибавить к абсолютным координатам (x, y, z) объекта? Тогда что-то не так - объект движется не всегда корректно. При повороте по оси OY на ~180 градусов, относительное увеличение по оси OX приводит к движению объекта в том же направлении, что и без поворота. Хотя ожидалось движение в обратном направлении по оси OX...
Объект - в данном тесте это камера, смотрящая на сцену. Когда я "облетаю" начало координат с другой стороны, то "вверх", "влево", "вправо", "вперёд", "назад" отправляет меня куда-то не туда...

[Mrrl]

Итак, поворот вокруг OY на 180 гр. У нас a=c=0, b=pi.
dy1=dy; dz1=dz;
dx1=-dx; dz2=-dz;
dx2=-dx; dy2=dy;
Вектор (dx2,dy2,dz2) равен (-dx,dy,-dz), что и следовало ожидать.

Подозрительно другое. Если у вас ориентация камеры хранится в виде углов a,b,c, то как вы её пересчитываете при очередном повороте камеры, который, как я понимаю, выполняется в локальных координатах?
Простейший пример: допустим, вы повернули камеру вокруг оси OX на 90 гр. Теперь выполняете поворот вокруг локальной оси OY (тоже на 90 гр). В глобальной системе координат эта ось будет уже называться OZ, то есть у вас будет a=pi/2, b=0, c=pi/2. При поворотах в другом порядке (сначала вокруг OZ, потом вокруг OX) всё будет ещё сложнее.
Вы это учитываете? Если да, то как?

[Вадим Чернов]

У камеры есть углы поворота относительно начало координат. Изначально угол по оси Х = 0. Если я хочу повернуть камеру на 45 градусов вправо, то делаю Х-=45. После второго такого поворота Х бедт равен -90 градусам и т. д. Если я затем поверну камеру "вниз" на 90 градусов, то это будет Y-=90.
При отрисовке кадра происходит следующее:

// reset
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
    glLoadIdentity();

    // rotate camera
    Angle3f *camAngle = this->camera->getAngle();
    glRotatef(-camAngle->x, 1, 0, 0);
    glRotatef(-camAngle->y, 0, 1, 0);
    glRotatef(-camAngle->z, 0, 0, 1);

    // place camera
    Position3f *camPos = this->camera->getPosition();
    glTranslatef(-camPos->x, -camPos->y, -camPos->z);

[Mrrl]

Хорошо. Если вы повернёте камеру на 90 гр в направлениях (последовательно) вправо, вниз, влево, вверх - то что вы ожидаете получить? Кстати, в какой системе координат эти "вправо, вниз" определяются - в глобальной, или в системе камеры?

[Вадим Чернов]

Камера будет смотреть туда же, куда и до поворотов. Проверил.
"Вправо", "вниз" и т. д. определяются в локальных углах камеры, это дельты для глобальной.
Любой объект и камера имеют три координаты положения и три угла поворота по трём осям.
Камера ставиться в координаты (x=0, y=0 , z=2) и смотрит в начало координат, верх у неё совпадает с +Y. Я мышкой двигаю камеру: ось Х экрана вращает камеру по оси Y в сцене, ось Y экрана вращает камеру по оси X в сцене.
Нужно, чтобы при зажатой клавиши "вперёд" координаты камеры менялись в зависимости от углов по всем осям, а не только уменьшали координату Z. Поэтому нужен метод moveRelativeBy в дополнение к moveBy.

[Mrrl]

Xatory: Камера будет смотреть туда же, куда и до поворотов. Проверил.
Получается, что при третьем повороте изображение на экране вращалось по часовой стрелке, а не двигалось слева направо?
Камера всегда смотрит в начало координат? Если да - как пересчитываются её координаты?
Думаю, что вам достаточно хранить три параметра - сферические координаты центра камеры (угол поворота вокруг OX, угол поворота вокруг OZ, расстояние до центра) и при движениях вперёд/назад менять третий параметр.

[Вадим Чернов]

Камера свободная. Вы играли в шутеры от первого лица? Когда вы давите W камера движется туда куда смотрит. Когда давите A, камера движется влево и всё вокруг движется вправо. Такой эффект я хочу получить.

[Mrrl]

Xatory: В шутеры я не играл. Но всё-таки, когда вы повернули камеру вниз на 90 градусов, а потом нажали "влево" - что стало происходить с изображением?
И что не так в этом рассуждении (движение после поворота вокруг OY на 180 гр):

Итак, поворот вокруг OY на 180 гр. У нас a=c=0, b=pi.
dy1=dy; dz1=dz;
dx1=-dx; dz2=-dz;
dx2=-dx; dy2=dy;
Вектор (dx2,dy2,dz2) равен (-dx,dy,-dz), что и следовало ожидать.

Получается, что при движении "вперёд" (вектор (0,0,-1) в локальных координатах) камера движется по вектору (0,0,1) - удаляясь от точки, в которую смотрела исходно.