Нельзя. Thunderbird - это клиент.
Поднять свой сервер гораздо сложнее, чем кажется на первый взгляд. Придётся получить фиксированный белый IP, разобраться в DNS, настроить SPF, DKIM, DMARK. Гораздо проще разобраться, как отправлять письма через SMTP-сервер того же gmail.