Что делать если на почте закончилось свободное место?
Очевидно, что либо увеличить доступное место, либо что-то удалить.
Есть ли почтовый клиент которое такое умеет?
Наверняка. Начните с Thunderbird, его можно попробовать без установки, в режиме Portable (т.е. потом простым копированием унести всё на другой компьютер):
https://portableapps.com/apps/internet/thunderbird...
Если вам нужен какой-то особый формат выгрузки архива, то тут уже выбирайте соответственно.
Если у вас почта на платном хостинге, то в панелях управления наподобие cPanel можно скачивать архивы всей почты, отдельных ящиков и т.п. Это может быть спрятано в разделе "Миграция" или подобном.
Выгрузить надо и входящие и отправленные письма с файлами
По умолчанию только так и может быть.
Почтовые письма хранятся в виде UUE-encoded - текст письма и вложения к нему в виде одной сплошной "простыни" особого вида. Так что их разделение - это как раз дополнительная функция, а не стандарт.
