Как доказать, что группы неизоморфны?

Question

[Sunter]

Доказать, что группы неизоморфны
1) (R,*) и (C,*)
2) (Q,*) и (Q,+)
3) (Q,*) и (R,+)

Answer 1

[Wataru]

Надо найти какое-то противоречие в структурах групп.
Например, в C есть элементы {1, i, -1, -i}. Это 4 различных элемента которые при умножении сами на себя дают 1. Если группы изоморфны, то должны быть 4 соответствующих им элемента в R, все - квадратные корни из 1. Но в R таких только 2: {1, -1}.

Во втором примере можно привязаться к 0. в Q есть 0, умножив на который всегда получится 0. Но нет элемента, прибавив которой всегда получится одно и то же число.

Опять же, 0 в {Q, *} не имеет аналога в {R, +}