Какие существуют методы по нахождению пересечения нормального вектора плоскости с точкой на другой плоскости по типовой задаче?

Question

[PurgaBot]

Дорогие пользователи Хабра, я на первом курсе университета, где только начали проходить лирейную алгебру. У нас пары были в основном заочно, только вот сегодня прошла пара, но скомкано . Задали на дом вот такую задачу:

Найдите точку пересечения нормали плоскости, заданной векторным параметрическим уравнением x(вектор) = x(вектор)0 + t1*a(вектор)1 +t2×a(вектор)2, где x(вектор)0 = -3e(вектор)1 + 2e(вектор)2 + e(вектор)3, a(вектор)1 = -e(вектор)1 + e(вектор)2 + 3e(вектор)3, a(вектор)2 = -5e(вектор)1 + 5e(вектор)2 + 3e(вектор)3, проходящей через точку x(вектор)0, и плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей с уравнениями 5x^1 - 3x^2 <-x^3 = 0, x^1 + 2x^2 + 3x^3 = 14, x^1 + x^2 + x^3 = 16 параллельно плоскости, проходящей через три точки M1(-9; 10; 2), M2(4; 8; -1), M3(-2; 1; 3).

^n - обозначил верхние индексы.

Я понимаю, что мы легко можем найти нормальный вектор плоскости путем N = [a1 , a2]. После чего составим систему из данных точек и найдём уравнение плоскости, покажем, что она перпендикулярна с дересечением плоскости, и все... На большее моей осознанности не хватает. Как найти плоскость для которой нам и нужно найти точку, как раз для того чтобы подставить значения нормального вектора и плоскости и посчитать точку? В общем в конце возникает больше вопросов. Если кто-то знает другие методы решения, то поделитесь пожалуйста)

Answer 1

[hint000]

Как найти плоскость для которой нам и нужно найти точку

Это называется декомпозировать задачу (декомпозиция), т.е. разбить её на части, так чтобы было более-менее понятно, как решать каждую отдельную часть.

и плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей с уравнениями 5x^1 - 3x^2 <-x^3 = 0, x^1 + 2x^2 + 3x^3 = 14, x^1 + x^2 + x^3 = 16 параллельно плоскости, проходящей через три точки M1(-9; 10; 2), M2(4; 8; -1), M3(-2; 1; 3).

1. Взять любые две из трёх пересекающихся плоскостей, определить уравнение прямой, по которой они пересекаются;
2. Взять третью плоскость и взять прямую из предыдущего шага, найти точку их пересечения;
3. В формате x=x0+t1*a1+t2*a2 очень легко найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: x0 = M1, a1= M2-M1, a2=M3-M1;
4. Из точки с шага 2 опустить нормаль на плоскость с шага 3; построить плоскость из точки с шага 2 с этим же вектором нормали - это и есть плоскость, про которую вы спрашиваете.

Я понимаю, что мы легко можем найти нормальный вектор плоскости путем N = [a1 , a2]

И ещё один вопрос (как любил говорить лейтенант Коломбо)... Не забыть, что N = [a1 , a2] должен быть построен из точки x0, что в сущности даёт нам не просто вектор, а уравнение прямой. И эту прямую мы в конце концов пересечём с плоскостью из шага 4 и получим точку их пересечения. Та-а-да-ам!

Comments

[PurgaBot]

Очень спасибо за развёрнутый ответ! Вы очень сильно помогли! Вопрос пока только 1: как связана точка пересечения из 2го пункта и параллельная плоскость, что в итоге мы получаем нужную нам плоскость. Вот тут у меня какой-то ступор...

[PurgaBot]

И ещё один вопрос появился: а можем ли мы найти точку пересечения 3х плоскостей через систему линейных алгебраических уравнений? Просто ответ иной получается, если делать через прямую и доп плоскость, возможно ошибся.

[hint000]

PurgaBot,

как связана точка пересечения из 2го пункта и параллельная плоскость, что в итоге мы получаем нужную нам плоскость

Для наглядности: мы строим дом, и у нас уже есть пол - это плоскость с шага 3. Ещё у нас на этом полу стоит колонна (нормаль) с вершиной в точке с шага 2. Мы хотим положить на эту колонну плиту, чтобы получился потолок. Потолок должен быть параллелен полу, и должен опираться на колонну - это всё что нам известно про потолок. Можем ли мы однозначно определить положение потолка? Конечно, через точку на вершине колонны можно единственным образом провести плоскость параллельную другой плоскости. А теперь уберём колонну, оставим только точку, где была вершина колонны. Хоть колонны нет, но потолок всё равно можно положить на точку единственным образом. Точка всего лишь определяет расстояние от пола до потолка.

а можем ли мы найти точку пересечения 3х плоскостей через систему линейных алгебраических уравнений?

Правильный вопрос. Да, можем. И если, например, у системы не будет решения, значит плоскости не пересекаются в одной точке.