Как получить точку касания вектора, зная его начало и модуль?

Question

[Ascold2019]

Доброго времени суток!

Есть три трехмерных вектора:

Вектор 1 (100, 100, 10)
Вектор 3 (500, 500, 20)
И вектор 2, который начинается с вектора 1 и имеет модуль, скажем, 100.

При этом, вектор 2 должен заканчиваться в точке, лежащей на векторе 3.

Получить нужно как раз эту точку - конечную точку вектора 2.

Наверное тут должна быть система уравнений, но скилла явно не хвататает чтобы понять откуда рыть ответ.

Картинка для наглядности - проекция XY

Comments

[Lynn «Кофеман»]

Обычная задача найти точку пересечения сферы и прямой, если я правильно понял вашу картинку.

Answer 1

[Wataru]

Одно квадратное уравнение. Пусть точка конца имеет координаты t*v3. Уранение: |t*v3-v1|^2=100^2 (расстояние от начала до конца - 100). Распишите длину как сумму квадратов разностей по всем координатам. Там квадратное уравнение на t, ведь координаты v1 и v3 даны. Найдите положительный корень.

Comments

[Ascold2019]

Если я правильно понял, то это оно:

sqrt( (x3*t - x1)^2 + (y3*t - y1)^2 + (z3*t - z1)^2 ) = 100^2

[Ascold2019]

Для примера:
v1 (100, 100, 10)
v3 (500, 500, 20)
|v2| = 100

t у меня вышло 14.336719426953332 и второй вариант -13.936239810646379

Если умножить на v3 получится что то явно не то

[Wataru]

Ascold2019, sqrt в уравнении лишнее. Или 100 надо брать без квадрата в правой части.

[Ascold2019]

Да, увидел свою опечатку.

Собственно, решение:

x, y, z - это координаты вектора 3
a b c - это координаты вектора 1

Перевожу в псевдокод:

t1 = (2*x1*x3 + 2*y1*y3 + 2*z1*z3 + sqrt(-(4*x3^2 + 4*y3^2 + 4*z3^2)*(x1^2 + y1^2 + z1^2 - v^2) + (-2*x1*x3 - 2*y1*y3 - 2*z1*z3)^2))  / (2*x3^2 + 2*y3^2 + 2*z3^2)

t2 = (2*x1*x3 + 2*y1*y3 + 2*z1*z3 - sqrt(-(4*x3^2 + 4*y3^2 + 4*z3^2)*(x1^2 + y1^2 + z1^2 - v^2) + (-2*x1*x3 - 2*y1*y3 - 2*z1*z3)^2))  / (2*x3^2 + 2*y3^2 + 2*z3^2)

Огромная благодарность!

[Wataru]

Ascold2019, я бы рекомендовал не расписывать формулы в коде до самого конца. Так проще не допустить опечатку, понятнее, что происходит, и при этом работать будет так же быстро, а то и быстрее.

a = x3*x3 + y3*y3 + z3*z3;
b = -2*(x1*x3+y1*y3+z1*z3);
c = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1 - v*v;
d = b^2-4*a*c;
// проверить, что d >= 0 - иначе первый вектор слишком далеко.
t1 = (-b - sqrt(d))/(2*a);
t2 = (-b + sqrt(d))/(2*a);
// выбрать минимальный неотрицательный t.

В качестве бонуса, если у вас есть какой-то тип "вектора", то вот эти вот a, b, c вычисляются как скалярные произведения векторов v1 и v3. Для скалярного произведения скорее всего уже есть библиотечный метод - и код упрощается еще больше, если его использовать.

[Ascold2019]

Wataru, долгих лет тебе, человек - кучу нервов сэкономил)

Answer 2

[hint000]

Можно решить через простую школьную тригонометрию. У нас треугольник с известными длинами двух сторон (вектор1 и вектор2) и известным углом (вектор1, вектор3). Нужно найти третью сторону.
По теореме синусов |вектор1|/sin(вектор2,вектор3)=|вектор2|/sin(вектор1,вектор3) получаем второй угол. Из двух углов получаем третий угол. И опять по теореме синусов получаем искомую длину. Из длины и направления вектора3 получаем точку.