@sresort

Доказательство простого факта. Математический анализ, равномерная непрерывность. Как?

Дано: последовательность функций fn, они непрерывны на (a,b) и ряд сходится равномерно (а+з,b-з) . Нужно доказать что итоговая функция будет непрерывной на всем интервале от (a;b)
Подскажите, пожалуйста как подступиться

ну вот по идее что нам дано
62be8ca6cfd64507204513.jpeg
просто воспользоваться теоремой о непрерывной сумме функционального ряда не получается,т.к у нас равномерная сходимость немного меньше(внутри (a,b), не покрывает полностью (a,b)
  • Вопрос задан
  • 93 просмотра
Пригласить эксперта
Ответы на вопрос 1
wataru
@wataru Куратор тега Математика
Разработчик на С++, экс-олимпиадник.
Я так понял в условии на самом деле говрится, что для любого достаточно маленького z (0 < z < Z0) функциональный ряд равномерно сходится на (a+z, b-z)

Все-равно можно взять теорему о непрерывности предела равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, только надо чуть-чуть пошевелиться дополнительно.

Пусть есть a<x0<b. Возьмем z = min(Z0, (x0-a)/2, (b-x0)/2). Используем данное, что ряд равномерно сходится на отрезке (a+z,b-z), а значит F на этом отрезке непрерывна. Значит F непрерывна в точке x0 (ведь мы так z подобрали, чтобы x0 в этом интервале лежала). Мы взяли любую точку x0 из (a,b), а значит F непрерывна на всем интервале.

Edit: Если же в условии тупо дана равномерная сохдимость на каком-то интервале (c,d) (a < c < d < b), а не для сколь угодно близкого к (a,b) вложенного интервала, то, очевидно, что непрерывности там никакой и нет.
Ответ написан
Комментировать
Ваш ответ на вопрос

Войдите, чтобы написать ответ

Войти через центр авторизации
Похожие вопросы
10 авг. 2022, в 06:20
1000 руб./за проект
10 авг. 2022, в 03:31
7000 руб./за проект
10 авг. 2022, в 03:28
40000 руб./за проект