Как тогда Паша понимает, что я - это я?
Устанавливает тебе печеньки, потом читает их.
Проблема заключается в том, что ни в локальном хранилище, ни в сессиях, ни в куках нет вообще никаких данных.
Не совсем верно. Во вкладке "Приложение" их нет, а вот во вкладке "Сеть" по клике на запрос - есть.
Эти печеньки можно установить в другой профиль/браузер с помощью любого расширения для работы с cookies. Возьмем к примеру расширение
Cookie Editor и создадим новую печеньку со следующими параметрами:
И вуаля, у нас в другом браузере появится кнопочка "Edit'.