Как найти точку пересечения двух графиков?

Question

[V1kt0rR]

Какие есть варианты нахождения точки пересечения двух графиков(любых), кроме как их приравнивание и построение, должен же быть еще какой-нибудь способ?

Comments

[Сергей Соколов]

есть: распечатать в одинаковом масштабе на прозрачных листах, сложить и посмотреть на свет.

Серьёзно, чем равенство не устраивает? Или вас интересуют численные методы?

[V1kt0rR]

Сергей Соколов, потому что нужно написать программу, а как там применить приравнивание - загадка

[hint000]

V1kt0rR, надо сразу подробно писать в вопросе все условия, на основании которых требуется написать программу, а не заходить издалека.

Конкретно:
1. задан ли интервал, на котором нужно искать решение?
2. в какой форме заданы исходные функции (хотя бы один пример приведите)?

[V1kt0rR]

hint000, нет, интервала нет, а функции вида

int f1(int x)
{
 return  2 * x * x + 16 * x - 24;
}
int f2(int x)
{
 return 2 * x - 18;
}

Просто хотел сам разобраться что к чему)

[hint000]

V1kt0rR, в такой форме никак не найти, ведь программа может только обращаться к f1, f2 как к "чёрным ящикам", внутри которых могут быть сколь угодно сложные функции. Вычитать тут можно только значения функций в конкретных точках, а это ничем не помогает. Нет информации о монотонности на отрезке функций из "чёрных ящиков". В такой ситуации лучшее, что можно сделать - это скормить функции какой-нибудь нейронной сети, чтобы она угадывала точку пересечения. Если обучить нейросеть на большом количестве разных функций, то может быть даже она будет угадывать результат достаточно часто.

Answer 1

[Wataru]

Единственный способ - решить уравнение, приравняв 2 функции для графиков. Построение графиков - это фактически графическое решение этого уравнения.

Дальше завивит от того, как графики заданны. Если это наборы точек, то надо найти 2 одинаковые точки в отсортированных массивах. Или попересекать кучу отрезков, если график кусочно-задан.

Если графики заданны функциями, то надо решить уравнение. Тут вам помогут численные методы, если это не полиномы степени 4 и меньше. Например, метод Ньютона.

Никаких других методов нет.

Answer 2

[Армянское Радио]

В общем случае, задача труднорешаемая, потому эквивалентна задаче "Найти все корни неизвестно какого уравнения", потому что чтобы найти пересечение графиков, надо их уравнения алгебраически вычесть, получив таким образом новое уравнение, а потом для найденного уравнения найти корни.

Численные методы решения уравнений, как правило, хорошо работают, когда корень существует и единственен - один из простейших - половинное деление, работает, если корень единственен и на концах исследуемого отрезка, где этот корень находится, функция имеет разные знаки.

Только для полиномов можно соорудить процедуру отыскания всех корней автоматически (Метод Лобачевского-Греффе), но и там могут быть нюансы.