Точкой сгущения (или предельной точкой) множества X (будем предполагать, что X является подмножеством множества R действительных чисел) является любое число P, в любой окрестности (P–d, P+d) которого содержится хотя бы один элемент множества X, отличный от P (d — произвольное положительное действительное число). При этом точка сгущения не обязана быть элементом множества X. В смысле данного определения множество натуральных чисел N не имеет ни одной точки сгущения, так как для любого действительного числа S существует непустая окрестность (S–d, S+d), в которой нет ни одного натурального числа, отличного от S. Если же рассматривать N как подмножество расширенного множества Ř (которое получается из R добавлением к нему двух т.н. несобственных чисел –/infty и +/infty, т.е. минус бесконечность и плюс бесконечность), то единственной точкой сгущения для N становится +/infty, поскольку в любой окрестности этой точки (d, +/infty) (где d — произвольное действительное число) имеются натуральные числа (которые, очевидно, не равны +/infty). Это следует из того факта, что множество натуральных чисел не ограничено сверху, то есть существуют сколь угодно большие числа из N. Также можно заключить, что –/infty не является точкой сгущения для N, поскольку, например, окрестность (–/infty, 0) не содержит натуральных чисел, ибо натуральные числа не бывают отрицательными.
Также следует отметить, что понятие точки сгущения множества и понятие предела последовательности в общем случае не имеют какой-либо непосредственной связи. Например, можно взять последовательность {0, 0, 0...}, и у неё будет 0 в качестве предела, но множество элементов этой последовательности не имеет точек сгущения (0 уже не подходит, так как в его выколотых окрестностях нет элементов из этого множества). Или можно найти пример последовательности, у которой нет предела, но у множества элементов этой последовательности есть две (или более) точки сгущения.
Средний
