если вопрос глупый - не бейте
Вопрос не глупый, но бить буду. :)
Начинать нужно с диагностики проблемы.
письма с этого устройства не уходят, почтовый ящик не обновляется
Это описание симптомов на уровне пользователя, а не айтишника. nslookup, ping, tracert, wireshark, вот это всё... (c) нужно применять для диагностики.
в Exchange не особо понимаю
диагностика нужна, чтобы понять главное: тут дело даже не в Exchange, а в инфраструктуре локальной сети (конкретно DNS, маршрутизация, NAT).
Дальше два метода. 1) разбираться с внутренним DNS:
https://www.google.com/search?q=split+horizon+dns
2) городить на роутере это:
https://www.google.com/search?q=hairpin+nat
В зависимости от [...] поможет или любой из методов, или только какой-то один из них,
или оба вместе. Точнее пока сказать нельзя, локальные сети у всех разные, встречаются и экзотические конфигурации. Если экзотики нет, то всё у вас получится.
P.S. Exchange хотя бы свежий? Все обновления установлены? А то за последний год изрядную долю серверов Exchange (доступных в Интернет) взломали и продолжают ломать. Я удивляюсь, что кто-то ещё им хочет пользоваться.