Ну, во первых, Ваш метод отмечен параметром
..., method = RequestMethod.PUT.
Соответственно, принимать он будет только PUT запросы.
Во вторых, Вы отправляете в запросе ТЕЛО, но ни как не параметры запросы. Но в сигнатуре Вашего метода Вы говорите, что параметры метода нужно взять из строки запроса (аннотация @RequestParam нам об этом говорит).
Таким образом, чтобы метод сработал в таком его виде, Вам нужно выполнить PUT запрос с параметрами в строке запроса. Строка запроса будет выглядеть примерно так:
/update?&readTimestamp=54645646&meteoStationId=4545&pressuere=4564564&так далее.
Если хотите отправлять данные в JSON, и получать их в методе из тела запроса, то лучше создать класс Measurement, например. В него положить те поля, которые у Вас сейчас в сигнатуре метода описаны. И привести сигнатуру метода update к виду:
public @ResponseBody AjaxResponseBody update(@RequestBody Measurement measurement) { ... }
Надеюсь, доступно объяснил ...
