Максим Тимофеев

Я в душе не представляю как написать

- в душе не надо, используйте мозг

раздел " Новости " кнопки, аля " Добавить\удалить\редактировать" и тд

для этого и многого другого есть php + mysql (База данных, где все хранится)

Буду очень признателен если кто поможет разобратся.

- читать:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Динамический_сайт
www.php.su
Перескочим намного дальше, но ближе к теме вопроса:
https://habrahabr.ru/post/185236/

Если просто, то цепляться за $_SERVER, вытаскивать от туда домен. При этом иметь один код, который кастомизирован. Не совсем наверное правильно так делать. Но если посещения там не зашкаливают - можно психануть.

Если Вас интересует имя в лейбле формы, то для этого есть:

public function attributeLabels()
    {
        return [
            'name' => 'Your name',
            'email' => 'Your email address',
            'subject' => 'Subject',
            'body' => 'Content',
        ];
    }

ЕСли название самого атрибута name формы, то:
Создать переменную, public $myvar;
написать для нее правила валидации, лейбл и функцию

public function setOldvar() {
  return $this->oldvar = $this->myvar;
}

Так же почитайте про beforeSave www.yiiframework.com/doc-2.0/yii-db-baseactivereco...

Выбираете все с сортировкой. Потом www.php.su/array_unique

1. Верстается на html+css+jquery.
2. Bootstrap - технология ускоряющая и упрощающая 1-е. Но можно обойтись без нее или использовать аналоги, а их не мало.
3. При этом не важно opencart или что-то еще. В случае с версткой под движок надо маломальски знать его архитектуру. В случае с OpenCart иметь хотя бы общее понимание что такое php. Иногда в шаблонах применяются шаблонизаторы twig или smarty тогда их тоже надо знать.

В любом случае начните с изучения html+css+jquery. Два сайта, которые надо почитать и потом использовать как справочники:
www.w3schools.com
htmlbook.ru

Создаете массив или объект или json (c чем проще\удобней работать), при нажатии на кнопку добавляете в него данные, какие надо.
Хранить можно в кукисах или локальном хранилище www.w3schools.com/HTML/html5_webstorage.asp
Последнее мне кажется более правильным выбором.
jquery - отлично справится

twitter или instagram

- настолько разные, что одного решения для них нет. Определитесь с тз, а потом выбирайте методы реализации.

Каждый писака вакансий понимает свое. Еще часто встречаю "Знание api" - что тоже расплывчато. Это как знание ПК.
Думаю проще уточнять на каком уровне стоит знать то или иное. Думаю подобные уточняющие вопросы только в плюс.

Для таких вещей пишется php компонент (url manager), думаю в сети полно готовых решений и подключается в index.php

Если надо только стрелки и 4 штуки, то переворачивать - вариант. Если иконок много - то подключите fontawesome.io/icons и не пытайтесь экономить байты, в то время, когда точно можно сэкономить МБ (уверен что есть где, всегда есть).

При отправки через ajax вам приходит ответ, событие success. Вот в нем и обновляйте. Мало того Вы же знаете что при клике +1 будет именно +1. Значит можно найти то что было и увеличить на единицу или уменьшить еще до ajax. Или в success если хотите быть уверены, что записалось.

Вы хотите, что бы странички менялись, а контент нет? Иначе понять "Подскажите как обернуть пагинатор ListView в Pjax виджет?" невозможно. Как Вы хотите, что бы это работало?