1. если выбор множественный, то меняем
$form->field($model, 'parts')-
на
$form->field($model, 'parts[]')-
2. вот тут:
if ($model->load(Yii::$app->request->post()) && $model->save()) {
$model->parts = implode(",", $_POST['parts']);
Вы начале сохранили, потом делаете implode - смысл?К тому же $_POST['parts'] наверняка не существует, скорее всего $_POST['название модели']['parts']
3. вместо implode лучше создать еще одну таблицу, связать с этой и хранить значения там, но в любом случае я бы не использовал implode, лучше использовать yii\helpers\Json и вынести этот функционал в модель beforeSave
4.
Но выдает ошибку "Значение «Parts» неверно".
Такой ошибки не существует, приведите пример реальной ошибки. Хотя она уйдет если исправите выше описанное. Кстати в rules модели сделайте safe для parts, так как это массив и не будет проходить валидацию.
