1. Главный вопрос зачем? Это не есть правильно. Опишите полную задачу, может быть есть другой выход.
2. Если посмотреть метод контроллера refresh, то увидим:
public function refresh($anchor = '')
{
return Yii::$app->getResponse()->redirect(Yii::$app->getRequest()->getUrl() . $anchor);
}
А значит не так уж и нужен refresh(), который из виджета не доступен.
Не в тему, но на будущее:
$this в виджете экземпляр виджета
$this->getView() в виджете экземпляр View
$this->getView()->context некоторые данные из контроллера, например публичные переменные