Знать не нужно почти ничего - только формулу n-го члена и суммы арифметической прогрессии.
В этой задаче всё выражается через новый член, добавленный математиком (пусть это -b), количество членов, бывших до того (n) и шаг прогрессии d (натуральное число).
Слегка поигравшись с формулами, получаете, что изменение разности D=n*b*(2*b+(n+1)*d). Несложно убедиться, что должно быть b>0. Всё, что вам нужно - подобрать натуральные b,d,n, чтобы условие выполнялось.
Ответы:
1) -5,-4,-3 (добавлено -2)
2) не бывает: нужно, чтобы b*(2*b+13*d)=120, т.е. 120/b-2*b было положительным и делилось на 13. Понятно, что b должно быть меньше 8 и быть делителем 120. Перебирая возможные значения (это все числа от 1 до 6), получаем, что решений нет.
3) n=15, прогрессия -19,-18,...,-5 (добавлено -4).
В последнем случае перебираете возможные значения b*d (чем оно меньше, тем больше возможно n). Оказывается, что при b*d=1,2,3 решений нет, а при b*d=4 - есть.
UPD. Выше сказали про "олимпиадные задачки" - боюсь, что это правда. Для олимпиадных задачек особых знаний не нужно - но нужна система знаний, чтобы быстро найти верный путь в лабиринте возможных подходов.
