var client = new HttpClient();
var request = new HttpRequestMessage
{
RequestUri = new Uri("http://urlExample.ru/?kod=44789"),
Method = HttpMethod.Post,
Headers =
{
{"Authorization", "Bearer token"},
{"Accept", "application/json"},
{"Content-type", "application/json"},
}
};
await client.SendAsync(request);
Попробуйте всё-таки HttpClient вместо WebClient - он более управляемый и понятный, да и более современный