Владимир

с кнопки на сайте запрос с номером клиента (это тот кто нажал кнопку) в web-API
оно из БД дергает номер манагера и становит в очередь на обработку
из очереди вынимается обработчиком, выдающая IP-PBX задания API взаимодействия с PBX
дальше у кого как возможны три примитивных сценария:

1. вызов клиенту после ответа вызов на манагера (самый неудобный для клиента, т.к. слушает музыку пока не ответит манагер и самый дорогой для заказчика)
   
2. вызов манегеру после ответа вызов клиенту (самый удобный для клиента и самый дешевый, но время ожидание до вызова на клиенте самое большое)
   
3. одновременный вызов и клиенту и манагеру после ответа соединение каналов (самый быстрый дозвон, недорогой, но возможны такие же накладки как и в первом способе при долгом неответе манагера)
   

Вызов к манагеру может быть сделан как через классическую телефонную сеть так и через SIP в его собственную PBX.

Конкретно этот модем голос поддерживает, но поддержки в Dahdi нет.
Теоретически добавить поддержку можно, но эта цель не оправдывает средства.

Модемы на каких чипсетах поддерживаются можно посмотреть здесь

Даже если найдете подходящий, настройка Dahdi не самая простая задача. Присоединяюсь к Армянское Радио - ищите шлюз с FXO.
Для начала попробуйте обратиться к оператору. Скорей всего у него уже есть возможность отдать этот номер по SIP.

очереди привязываются не к транкам, а к DID
синтаксис строки регистрации

[peer?][transport://]user[@domain][:secret[:authuser]]@host[:port][/extension][~expiry]

допустим
2345:password@sip_proxy/1234
1234 в конце - это и есть DID, которое во "входящей маршрутизации" указывается

модуль для разделения исходящих от разных екстеншенов называется Custom Contexts
неплохое описание как с ним работать

в опциях очереди
ringinuse = yes

Свой шлюз не хуже и не лучше чем звонок GSM - GSM при любые вариантах.
Операторский SIP, при условии что вызов приходи от GSM-абонента не лучше и не хуже чем GSM - GSM, но при звонках не к/c GSM должно быть лучше.

Наиболее предпочтительная реализация AMI + WebSocket.
Нужно повесить демона слушающего события AMI.
При принятии подписки от клиента, должен запомнить внутренний номер оператора.
По приходу входящего на подписанного оператора, пушить именно в его канал.

Некоторые SIP-клиенты могут дергать ссылку при входящем вызове.
Можно попробовать через этот костыль.

для безопасности сделана привязка к моему внешнему ip адресу

если IP динамический, то это бестолковая затея

[input]
exten => наш номер телефона,1,Dial(SIP/101&SIP/102,30)

FreeSWITCH

fs_cli> reloadxml
на 99% покажет что директория не найдена или нет доступа

смотрите там куда прикручен мультифоновский SIP
может в группе вызовов есть внутренний ткнувший переадресацию на (928)200-00-23
пока группа ожидает ответа идет вызов на этот номер

хотя...
больно уж совпадает продолжительность вызова
возможно ошибка биллинга

В результате у вас должна быть собственная IP-PBX (например Asterisk, FreeSWITCH)

С таким отношением варианта два:

1. Поделиться несколькими месячными окладами со знающим человеком. Можно сюда обратиться.
   
2. Упорно разбираться самостоятельно. За месяц вполне реально осилить Asterisk c нуля
   

нет такого файла
все делается в диалплане

править:

[general]
...
nat=yes

это бред:

permit=192.168.0.1/24

либо так
permit=192.168.0.0/24
либо этак
permit=192.168.0.1/32

insecure=invite у type=friend и host=dуnamic
не нужно

Asterisk это далеко не вся IP-телефония

По asterisk: "Дж. ван Меггелен, Ярд Смит и Лейф Маадсен «Астериск - будущее телефонии». 2-e издание, Издательство О'Рейли"
в принципе, там есть небольшая теоретическая вводна
для общего понимания что к чему пойдет

По SIP очень подробно разжевано:
Гольдштейн Б.С., Зарубин А.А., Саморезов В.В. Прот...

по H.323 и прочим так же у Гольдштейна есть публикации.