Ришат Султанов

• Определите роут для обработки формы
  
• Определите класс/метод для обработки запроса
  
• В форме укажите урл для обработки запроса:
  

  <form action="/update" method="POST" accept-charset="UTF-8">
  ...

  
  
• Измените это:

  <button type="button" class="btn btn-success"><a href="/" class="menu">Обновить</a></button>

  На это:

  <button type="submit" class="btn btn-success">Обновить</button>

  
  

public function update()
{
    foreach (request()->multipleselect1 as $value)
        echo "{$value}<br>";

    foreach (request()->multipleselect2 as $value)
        echo "{$value}<br>";

    foreach (request()->multipleselect3 as $value)
        echo "{$value}<br>";

    foreach (request()->multipleselect4 as $value)
        echo "{$value}<br>";
}