По сути AJAX-запрос ничем не отличается от обычного запроса. Т.е. вам также надо добавить метод в контроллере (экшн), который будет обрабатывать ajax-запросы. Как правило в нём выполняется проверка, что запрос является именно ajax-запросом. Ну и возвращаемые данные как правило идут в JSON или другом формате - более приемлемом для обработки на клиентской стороне (javascript).

С джанго не знаком. Но нагуглил.
https://docs.djangoproject.com/en/1.9/ref/contrib/...

Варианта два:
1) Вам надо добавить в Laravel-роуты маршрут, который будет по любому направлять на ваш фронт:

Route::get('/{path?}', [
    'uses' => 'ReactController@show',
    'as' => 'react',
    'where' => ['path' => '.*']
]);

И второй вариант - можете заиспользовать хэш-раутер:
import {HashRouter} from 'react-router-dom';
При этом в URL добавиться /#/.
Но зато у вас будет возможность навигации по конкретному урлу, а Laravel будет воспринимать это как один маршрут.