Для правильного вопроса надо знать половину ответа
nth-child() считает среди всех потомков родителя, а не среди предварительно выбранных.
Запись .slick-active:nth-child(2) означает, что элемент должен иметь класс slick-active и при этом являться вторым потомком своего родителя.
$test = array($category['category_id'].',');
Вы каждый раз новый массив создаёте. Чтобы добавить новый элемент в существующий массив пишите например так: $test[] = $category['category_id'];