Дмитрий Кузнецов

public function login (Request $request) {
        response()->json($request);
    }

Надеюсь остальное поймёте. Мб где-то ещё будет ошибка

Решено. Спасибо за наводку YepBro на счёт сверки файлов побайтово. Это дало понять что не правильно записывал файл.
Решение:

$save = $storage->append($fileNameBlob, file_get_contents($chunk));

поменять на

$save = file_put_contents(storage_path('/app/public/' . $fileNameBlob), file_get_contents($chunk), FILE_APPEND | LOCK_EX);

Флаг "LOCK_EX", наверное, необязателен. Но ради блокировки записи я его поставил.

можно так:

$user->name = 'xxx';
$user->save();

+ в модельке нужно добавить это свойство в разрешённое к редактированию.

Вангую заранее, что вы к апи неправильно обращаетесь.
Вы, скорей всего, обращаетесь как site.ru/v1, а надо как site.ru/api/v1...

И вообще, имеет ли значение в каком из двух этих файлов я пишу, когда делаю api?

Да, конечно. Иначе их (разветвления) не существовало.

Проверьте свой FormCategoryCreateRequest. Вероятней всего там ошибка.

В трейте AuthenticatesUsers, в методе username() поменяйте с 'email' на 'login'.

Совет на будущее: по возможности читайте документацию пакета. Если особой документации нет - читайте исходники.

PS: я не пробовал данный пакет, но может быть так, что этот трейт будет находится где-нибудь в папке vendor - тогда нужно будет попробовать другой подход. Например, в моделе User/LoginController'е (точно не помню где надо) создать метод аналогичный username() в трейте (который я указал в начале).
PS2: На мой взгляд лучше использовать пакет аутентификации от самого Laravel (Breeze или Fortify).

Вопросы могут быть банальными, но я последний раз писал на вью года 2-3 назад

Советую почитать доку на оф сайте. Многие вопросы сами отпадут.

1. Каким образом хранить данные между компонентами?
Данные могут передаваться через пропсы, Vuex, Bus и т.п. Всё зависит от необходимости.

2. Как реализовать 2(больше не планируется) языка на сайте? i18n или переводы Laravel, а может что-то другое? Будут информационные страницы с 1-2тыс символов
Если текста будут загружаться из БД, то лучше переводы сохранять в базе, а в зависимости от локали или выбранного языка пользователя - выдавать нужный перевод.
Если нужны переводы всяких кнопок и т.п., то думаю i18n сойдёт. С этим ни когда не работал, так что не уверен в выборе i18n. В любом случае стоит посмотреть его функционал.

3. Как реализовать роутинг? Через SPA или отдельными страницами? - и возможен ли второй вариант?
Роутинг чего: API или страниц на Nuxt? У Nuxt есть мощная функциональность для "роутинга" для страниц, зависимая от page каталога.
Если вас интересует API - то тут уж как удобней.

А вообще стоит определиться как будет происходить "соединение" Laravel и Nuxt - api и front как отдельные части или всё вместе!?

4. На малой-средней загруженности сайта могут быть проблемы с сервер сайдом?
При кривом и неоптимизированном коде проблемы могут возникнуть при любой нагрузке. Тут сложно подсчитать. К тому же нужно настроить правильно серверное окружение.

5. Есть ли минусы использовать Docker для развертывания проекта на не высоко загруженном сервере?
Опыта у меня в этом мало, так что могу сказать только одно - самый большой минус - это правильная настройка. При незнании и неумении сложно собрать нормальную сборку.

На роуты, на которые вы хотите сделать блокировку для неавторизованных, нужно повесить мидлвар. Это есть в документации.

Согласно документации не нужно указывать какие-либо сервис-провайдеры в файле app.php.

Как бы сделать так чтоб помягче доставалось серверу и чтоб он не нагружался на 98%?

Кроме оптимизаций запросов/работы команды ни чего не поможет. Каким бы вы сервисом очередей не пользовались, если задача трудоёмкая, то выполняться будет долго и сложно.