1) При работе локально(1 квадрат) вы пушите в удаленный гит(2 квадрат). И когда делаете деплой скрипт берет инфу из удаленного репозитория(2 квадрат) и пушит её в удаленный репозиторий на деплой сервере(3 квадрат)
*) Стандартная работа с гитом.
git init
git remote add
git add .
git commit -m ""
git push
Если же вы хотите пушить напрямую на деплой сервер. То вам нужно сделать git clone с удаленного репозитория. Далее добавить ссылку на удаленный репозиторий git remote add. Дальше все по пунктам стандартной работы после git remote add.