Вам не дадут исправить договор, даже если что-то там заметите.
Ну, формально, это должен быть не договор подряда, а именно трудовой договор.
И он должен быть заключен в первый рабочий день (или раньше).
Формально.
Но фактически так не делают в 90% случаев.
И в 80% случаев это совершенно не важно.