Я однажды видел, как ребята сделали такую форму с помощью Contact form 7. Они сразу сделали несколько строк, но всё, кроме первой, скрыли. При нажатии на кнопку появлялись "новые" строки, а при достижении лимита кнопка просто отпадала.
Вот как вариант могу предложить.