VT100

• Изображённое на эскизе "реле-кубик" может отпускать якорь при напряжении на катушке до 10% от номинального. Т.е. до 1,2 В при номинальном напряжении катушки 12 В. Вот и причина сброса роутера.
  
• С другой стороны - реле с катушкой на 12 В при питании от 24 В будет работать с двукратной перегрузкой при допустимых 130%.

Итого:

• Самое простое - использовать для развязки диоды, как предложил Сергей П;
  
• Как вариант - сделать схему (например - на TL431) для принудительного выключения реле при падении напряжения источника 24 В до заданного уровня (13-15 В).

P.S. Зачастую, внутренний блок питания роутера может работать и с входным напряжением 12-15 В. Так что блок на LM2596 можно убрать вовсе.
А его фото, всё-таки, - желательно. Для оценки штатных ёмкостей на его входе и выходе.

P.P.S. Можно поставить последовательно с обмоткой 12 В реле стабилитрон на 12-13 В (BZX55C12, BZX55C13, Д814Г - катодом к "+" питания).

Сопротивление источника питания, как правило, очень мало. С учётом этого - как включены R3, разделительный конденсатор и нагрузка?
Так же - и резисторы R1, R2 и входное сопротивление транзистора

по которым рассчитывается ёмкость разделительного конденсатора на входе.

Скорее всего - можно невозбранно. В таких старых буках, обычно, внутренняя линия питания Vbat переключалась между батареей (12,6-16,8 В макс. смотря по числу элементов в батарее) и сетевым адаптером (19-20 В). Так-что подключив 12 В вместо батареи - бук вполне можно запустить. Не будет только работать контроль напряжения батареи. И ток надо иметь достаточный (примерно - не менее 5А). Подключить 12 В вместо внешнего источника - можно пробовать, но желательно найти схему и удостовериться, что входной транзистор может пропустить достаточный ток.

Транзистор будет открыт и, может быть, даже насыщен.
На базе - будет 0,6-0,7 В относительно эмиттера. Отсюда - считам ток базы. Это ток через верхний резистор 110 кОм минус ток через нижний резистор 110 кОм. По току базы - считаем ток коллектора, принимая средний коэффициент передачи тока 150. По току коллектора - считаем падение напряжения на резисторе 1 кОм. Отсюда до напряжения коллектор-эмиттер - рукой подать.
P.S. Перехода коллектор-эмиттер - нет в природе.

На фото "подключение" - ничегошеньки не видно, приходится догадываться.
Попробуйте включить с питанием от USB, без аккумулятора.

Закон Ома + правила Кирхгофа (в основе одного из правил - банальный закон сохранения зарядов). ТОЭ, в общем.

Лучше - меньше. Но если они укладываются в допуск для постоянного напряжения, типично - ±5-10 %, то не сильно страшно.
Кроме того - внутри дисков, как правило, есть свои стабилизаторы.

Ошибка, вероятно, в непонимании работы каскада на ОУ.
Чтобы он в такой топологии преобразовывал сигнал с Vout ЦАПа в ток - нужно подать на вывод 4 отрицательное напряжение в 3-5 В.
А напряжение на сведиодиоде - снимать с выхода ОУ. Поскольку оно отрицательное - надо будет его проинвертировать или сместить уровень перед подачей на АЦП.
P.S. ЦАПу, кстати, будет очень трудно работать на резистор в 100 Ом.

Например, вход имеет высокое входное сопротивление и ловит наводки.
Посмотрите справку по pinMode, есть ли там режим с названием pulldown (вместо input). Если нет - подлючите с этого вывода на общий ("земля") резистор сопротивлением 3-10 кОм.

Можно.

Dot из пакета Graphwiz?

6,8 пФ в эмиттере - мало на пару порядков.
Номинал резистора - не указан.

• Для мало-мальски приличного усилителя нужен хоть один транзистор МП37 (МП38) или трансформатор.
  
• При таком невысоком напряжении питания не получить больше 2-3 Вт.
  
• Если упороться, то число резисторов можно уменьшить. Но за счёт числа транзисторов. Как это делается в микроэлектронной схемотехнике.
  

Вот довольно приличная схема, которая не потребует настройки:
rt20.getbb.ru/viewtopic.php?f=3&t=93130&hilit=%D0%...
Но автор как раз поставил в неё много 37-х, что несколько неоправдано.