Rou1997

Куда и как добавляете элемент и где у вас скрипт? Возможно, вы путаете background script и content script, или просто элемент добавляете так, что не успевает выстроиться DOM.

Это не JSON, а JSONP. JSON выглядит так:

{
  "files": [
    {
      "type": "js",
      "name": "script"
    },
    {
      "type": "html",
      "name": "file"
    }
  ]
}

Чтобы искать, для начала желательно знать, что искать, то есть какие именно данные, хранимые в браузере, отправляются на сервер, для этого используйте Fiddler, Wireshark и т.п. снифферы.

Никак не обезопасить, только затруднить "подделку", которая и так доступна совсем даже не "любому", и уж тем более не рентабельна в данном случае.

Чтобы получить сообщение с сервера без обновления страницы, достаточно сделать AJAX-запрос (HTTP-запрос с помощью JavaScript), начать можно с jQuery или отсюда, но в вашем случае придется очень часто отправлять запросы, это большая нагрузка и на клиент и на сервер, можно применить долгое опрашивание вместо частого, но лучше WebSockets, это почти "сырой" TCP/IP, в отличие от HTTP отправлять запросы (пакеты) не придется вовсе, поэтому и нагрузки на клиент и сервер не будет никакой, пока сервер сам не отправит сообщение.

Если тот домен не разрешает кросс-доменных запросов (не возвращает заголовок Access-Control-Allow-Origin: *), то на JavaScript никак, если crossdomain.xml нет, то на Flash тоже никак, разве что эксплойтом, считайте, что из браузера вообще никак, проксируйте своим сервером.

Можно "подделать" запрос, то есть отправить его самому, и получить данные, а лучше переходите хотя бы на Phantom.js

В принципе, расширение для браузера может блокировать конкретный URL, поищите, или напишите сами.

Прием аргументации "за ранее это ни где не обговаривалось" ("а где это написано") не очень хорош, вы же не перед сотрудником ГИБДД оправдываетесь "на от..ись", каждый считает себя правым, поэтому остается при своем мнении, лучше поговорите с ним о нем, то есть объясните как специалист, что это действительно не так приоритетно, и еще можете о себе говорить, что слишком тяжело за такие деньги делать такую работу, вы же не виноваты в том, что с IE 8 так тяжело, всегда чем хуже платформа, тем больше работы для разработчика, поэтому следует доплатить.

var toggle = document.querySelectorAll(".faq__accordion-toggle");
var answer = document.querySelectorAll(".faq__accordion-answer");

  toggle[0].addEventListener("click", function (event){
    event.preventDefault();
    console.log("Клик по ссылки");
    if (answer[0].classList.contains("faq__item-answer-show")) {
      answer[0].classList.remove("faq__item-answer-show");
    } 
    else {
       answer[0].classList.add("faq__item-answer-show");
       for (var i = 1; i <= 11; i++) { //Вот здесь
         answer[i].classList.remove("faq__item-answer-show");
       }
    }
    });

Создать черный полупрозрачный блок на всю страницу, а меню поверх блока (z-index).

Невозможно, запросы можно отправлять вообще не "с сайта" (вернее, из браузера), а просто из программы, тогда пакет (запрос) может вообще ничем отличаться, можно лишь усложнить скрипт, обфусцировать, применить Flash и т.д., либо просто использовать API-токены вместо id сайтов.

Лежит на вашем сервере или на другом? Если на вашем, то просто сделать аякс запрос к нему и показать результат где хотите, если на другом, то либо сервер должен разрешать кросс-доменные запросы, либо надо проксировать своим сервером.

Это работа с DOM, одна из основных целей JS, почти что хелловорд.