Андрей

Если Вы имеете в виду задачу сравнения двух или более различных реализаций функций, то тогда Вам скорее всего нужен LogLoss. Учтите, что если Вы не можете применить разные функции на одних и тех же данных (то есть проверка ведется на разных выборках), то они должны быть достаточно большими и однородными, иначе результаты сравнения будут недостоверными.

Необходимо построить уравнение от параметров, указанных Вами и решить его (скорее всего численным методом).

Поскольку Вы хотите 2 параметра распределения частоты, Вам нужно знать значения в 2 точках, и это будет система. Я бы на Вашем месте свел к одному параметру и тогда решил бы его любым численным методом.

Как бы то ни было, задача еще не до конца формализована Вами, либо Вы что-то не совсем ясно описываете в постановке.

Вы поставили совершенно верный тег - Комбинаторика. Этот раздел математики и начинался как метод подсчета количества различных вариантов/комбинаций.

Наиболее часто задачи на комбинаторику подразумевают последовательное фиксирование количества состояний переменных одной за одной.

Давайте начнем со второй задачи - она несколько проще.

2а) Первую цифру двузначного числа с заданными условиями можно выбрать 4 способами; после того как первая цифра определена, вторую можно выбрать снова 4 способами. Итого вариантов 4х4=16.
2б) Первую цифру двузначного числа с заданными условиями можно выбрать 4 способами; после того как первая цифра определена, вторую можно выбрать уже только тремя способами, т.к. цифра не может совпасть с той которая на первой позиции. Итого вариантов 4х3=12.

1а) Целых неотрицательных, которые могут сыграть роль "x", - 9 (от 0 до 8 включительно). После того как "x" зафиксирован, "y" может быть выбран (8-x+1) способами, например, если х=7, то остается для "y" только 0 и 1. После того как "х" и "y" зафиксированы, "z" всегда можно выбрать только 1 способом, следовательно, количество вариантов решений он не увеличивает. Осталось посчитать сумму кол-ва возможных комбинаций (считаем по "y"-кам) = (9+8+7+...+1) - по формуле суммы арифметической прогрессии - 10*9/2 = 45. И соответственно, Ваш ответ неверен.

1б) Аналогично, но уменьшая кол-во "x"-ов до 6 (от 1 до 6 включительно), а кол-во "y" до (7-х) способов. Сумма (6+5+...+1) = 7*6/2 = 21.

Возьмите формулу биномиального распределения и проверяйте гипотезу о том, что наблюдаемое значение L соответствует моде биномиального распределения для M, против (возможно не модальных значений) для (M-1) и (M+1). Увеличением L добейтесь того, чтобы гипотеза не отвергалась с требуемым Вам уровнем ALPHA.

Возможно, глядя на характер биномиального распределения при больших L, у Вас это не получится. То есть сказать с точностью до M при желаемом Вами уровне нельзя - только диапазон - от М_LO до M_HI

Проведите над массивами значений, полученных после хеширования случайных наборов входных данных, тесты на случайность (DieHard, FIPS 140-1 и аналогичные)

Вам необходимы всего 2 формулы (возможно, вероятностные) :
- влияние вертикальной и горизонтальной скоростей на вертикальное ускорение (подъемная сила)
- влияние вертикальной и горизонтальной скоростей на горизонтальное ускорение (сопротивление воздуха)

Все компоненты влияют на объект линейной композицией. Соответственно весь полет описывается набор дифф.уравнений 2 порядка, которые можно моделировать вместо того, чтобы решать аналитически.

Описанные выше формулы предлагаю получить эмпирическим путем - видеозаписью полета реального бумажного самолета.

Вот смоделировал "на коленке" полет против синусоидального ветра :

По Вашему условию :
f(6,9) = 2341413, значит f(6,-1) = 2341413
но
f(6,3) = 83746836, значит f(6,-1) = 83746836

Противоречие в условии - такая функция нереализуема

Такие вещи считаются от обратного, т.е. оценивается вероятность "невыбора".
В одном испытании - вероятность "невыбора" - 8/10.
В N последовательных испытаниях (8/10)^N, поскольку события независимы.
Теперь задавайтесь требуемой вероятностью "невыбора", например, 0,01 (это будет соответствовать вероятности показа 99%) и ищите логарифмированием через сколько испытаний Вы ее достигнете.

P.S. Это будет вероятность для одного слова. Если Вам нужна вероятность 99% для всех - уточните.

Я бы сказал, что переходя в геометрическую интерпретацию, Вы начинаете давать событиям с большим "х" больший вес при подсчете результата (как будто бы они случаются чаще) и из-за этого искажаете итог.
Мне кажется ответ должен быть около (1+ln(3))/3, а по Вашей геометрической интерпретации он 5/9.

Я бы предположил, что для Вашего вопроса ответ N*N/2, а для бинарного поиска N*log2(N)

David J. Sheskin Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures