Где в решении задачи ошибка?

Question

[andylarkin]

Имеется задача:
"На отрезке AB наугад выбирают точку С. потом на отрезке АС наугад выбирают точку D. Какая вероятность того, что AD < AB/3?"

Решение (вероятно, неправильное) :
Пусть длина AB -- 1. Тогда, точки C и D однозначно определяются числами x,y из (0,1), причем x>y.
Воспользуемся геометрической интерпретацией. Тогда, все поле событий --- красный равнобедренный треугольник (0,0) (1,0) (1,1), а множество интересующих нас исходов отмечено зеленым. Искомая вероятность равна отношению зеленой площади к площади треугольника.

Answer 1

[Андрей]

Я бы сказал, что переходя в геометрическую интерпретацию, Вы начинаете давать событиям с большим "х" больший вес при подсчете результата (как будто бы они случаются чаще) и из-за этого искажаете итог.
Мне кажется ответ должен быть около (1+ln(3))/3, а по Вашей геометрической интерпретации он 5/9.

Comments

[andylarkin]

Да, Ваш ответ правильный. Не могли бы Вы более развернуто объяснить, каким образом я "недооцениваю" маленькие х?

[Андрей]

Пусть "x" - дискретно и могло принимать только два значения - 0.33 и 0.66. Они равновероятны. Вероятность итогового неравенства для "y" равна 1/2*1+1/2*1/2=3/4. А по геометрической интерпретации (одномерной в этом случае) она равна (1/3+1/3)/(1/3+2/3)=2/3. Как видим, в дискретном случае - имеется ошибка из-за присвоения неравных вероятностей двум значениям "x" (значение х=0.66 фактически входит в эту дробь с большим весом и своим меньшим значением уменьшает итоговый результат).

Эта же ошибка переходит и в непрерывный случай (под интеграл).

[andylarkin]

Спасибо за внимание! Не ясно, что из себя представляет одномерный случай когда х может принимать различные значения.

[Андрей]

Я Вам для примера показал, что геометрическая интерпретация дает неверные веса равновероятным событиям и из-за этого накапливается погрешность. Значения "1" для x=0.33 и "1/2" для x=0.66 должны входить в итоговую формулу с весами 1/2 и 1/2 т.к. события x=0.33 и x=0.66 равновероятны. А в Вашей геометрической интерпретации первое входит с весом 1/3, а второе с весом 2/3 (поскольку длина линии при x=0.66 вдвое длиннее). Из-за этого получается ошибка.