Как рассчитать кол-во вариантов?

Question

[Андрей Голубков]

Задача 1

Сколько решений имеет уравнение x + y + z = 8:
a) в целых неотрицательных числах;
b) в целых положительных числах?

Написал программу, циклами прошел по числам, получились ответы
А- будет 42
Б- 21
Задача 2

Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4:
a) двузначных чисел;
b) двузначных чисел с различными цифрами;

А-16
Б-12
Объясните пожалуйста какими формулами это все считается.

Answer 1

[Алексей]

Задача 1 - посмотрите math.hashcode.ru/questions/77079/%D0%BA%D0%BE%D0%B...
Задача 2 - посмотрите www.mathelp.spb.ru/book2/tv3.htm
Возможно там не точно такие же, а похожие случаи, детально не смотрел.

Answer 2

[Андрей]

Вы поставили совершенно верный тег - Комбинаторика. Этот раздел математики и начинался как метод подсчета количества различных вариантов/комбинаций.

Наиболее часто задачи на комбинаторику подразумевают последовательное фиксирование количества состояний переменных одной за одной.

Давайте начнем со второй задачи - она несколько проще.

2а) Первую цифру двузначного числа с заданными условиями можно выбрать 4 способами; после того как первая цифра определена, вторую можно выбрать снова 4 способами. Итого вариантов 4х4=16.
2б) Первую цифру двузначного числа с заданными условиями можно выбрать 4 способами; после того как первая цифра определена, вторую можно выбрать уже только тремя способами, т.к. цифра не может совпасть с той которая на первой позиции. Итого вариантов 4х3=12.

1а) Целых неотрицательных, которые могут сыграть роль "x", - 9 (от 0 до 8 включительно). После того как "x" зафиксирован, "y" может быть выбран (8-x+1) способами, например, если х=7, то остается для "y" только 0 и 1. После того как "х" и "y" зафиксированы, "z" всегда можно выбрать только 1 способом, следовательно, количество вариантов решений он не увеличивает. Осталось посчитать сумму кол-ва возможных комбинаций (считаем по "y"-кам) = (9+8+7+...+1) - по формуле суммы арифметической прогрессии - 10*9/2 = 45. И соответственно, Ваш ответ неверен.

1б) Аналогично, но уменьшая кол-во "x"-ов до 6 (от 1 до 6 включительно), а кол-во "y" до (7-х) способов. Сумма (6+5+...+1) = 7*6/2 = 21.