Mrrl

1) Да, можно прибавлять любую строку, умноженную на любой коэффициент, к любой другой строке.
2) Нужно сделать так, чтобы во всех клетках (a,b), где a > b остались нули. Тогда матрица примет треугольный вид.
Например, из системы

x + y + z = 1
2*x + 3*y - z = 2
  -x + y + 2*z = 0

получится

x + y + z = 1
    y - 3*z = 0
        9*z = 1

После этого найти последовательно z, y, x
3) Можно, но вам не понравится. Надо считать миноры (определители матриц (N-1)*(N-1)). Но это будет уже не метод Гаусса.

Все задачи на работу со столбцами. Читаете, что бывает с определителем, когда столбец умножается на число, когда столбец прибавляется к другому, когда два столбца меняются местами, когда все элементы столбца оказываются нулевыми. И решаете, что применить.

Если номер позиции pos, число разрядов len, а число, которое надо изменить - x, то ответом будет
x | (((1 << len) - 1) << pos)

3-i*4 = exp(ln(5)-i*arctg(4/3)+i*2*pi*k)=exp(1.6094379-i*0.9272952+i*2*pi*k)
(3-i*4)^(2+i)=exp((1.6094379-i*0.9272952+i*2*pi*k)*(2+i))=
=exp(4.146171042-i*0.24515252+12.56637*i*k-6.283185*k)=
=(61.30217-i*15.336867)/exp(2*pi)^k
Ответ из учебника не получается ни при каком k.

Многомерная задача о рюкзаке.

Допустим, у нас есть фраза "aaabbc" и словарь

aab
abb
abc
bbcc
aac

Для фразы считаем, сколько раз в ней встретилась каждая буква. Буква 'a' встречается na=3 раза, буква 'b' - nb=2 раза, буква 'c' - nc=1 раз.
Заводим битовый массив B с размерностями 0..na, 0..nb. 0..nc (в нашем примере это 24 бита). В элемент (0,0,0) кладём 1, в остальные 0.

1000 0000
0000 0000
0000 0000

Теперь перебираем слова из словаря. Для каждого слова считаем количество каждой буквы в нём (для aab это ma=2,mb=1,mc=0), и строим массив B1, в котором B1[a,b,c] = B[a,b,c] | B[a-ma,b-mb,c-mc] (для отрицательных индексов считаем значения нулевыми). В нашем случае получится

1000 0000
0010 0000
0000 0000

Продолжаем для остальных слов. После добавления каждого слова проверяем элемент B[na,nb,nc]. Если он ненулевой - мы нашли вариант (правда, помним из него только последнее слово - остальные восстановим на следующих проходах). Вариант запомним, элемент B[na,nb,nc] обнулим.
У нас получится:

abb=(1,2,0)

1000 0000
0010 0000
0100 0000

abc=(1,1,1)

1000 0000
0010 0100
0100 0001

Первый вариант есть - он кончается на "abc". Обнуляем B[3,2,1] и продолжаем.
Слово bbcc=(0,2,2) можно не рассматривать, в нём mc > nc.

aac=(2,0,1)

1000 0010
0010 0100
0100 0001

Нашли второй вариант - кончается на "aac". Слова в словаре кончились.

Теперь надо построить фразу "aab" из словаря

aab
abb

и фразу "abb" из словаря

aab
abb
abc
bbcc

Теоретически, это можно делать одновременно - но придётся отслеживать несколько индеков. И обнулять их уже нельзя, надо смотреть, не пытаются ли в них записать 1 (даже если там уже было значение 1).
Если на массив у вас есть 2 ГБ памяти, а разных букв не более 26, то этого хватит на фразу из 39 букв (худший случай - когда 13 букв встречаются по 1 разу, а 13 по 2 раза).

В первой расстановке 0 идёт раньше 1 (0, 3, 1...), а во второй - позже (1, 0, 3...) Поэтому их "относительный порядок" разный. Для пар 0,3 и 0,6 порядок одинаковый - в обеих расстановках 0 идёт и раньше 3, и раньше 6.
"Почему выбраны именно эти пары?" - потому что в остальных порядок одинаковый.

Думаю, что лучше ещё раз посмотреть в сторону триангуляции.
После того, как триангуляция Делоне исходных точек построена, то для любого треугольника и любого уровня высоты пересечение изолинии с треугольником будет либо пустым, либо точкой, либо отрезком. Координаты концов отрезка определяются линейной интерполяцией. И продолжать изолинию можно будет просто шагая по треугольникам.
Проблема возникнет, когда изолиния уткнётся в вершину. Теоретически, из вершины может быть больше двух путей - если она оказалась седловой точкой. Чтобы этого избежать, достаточно просмотреть в начале все данные, и если попадётся "круглое" число - слегка его изменить.

Если позиция сразу проигрышная, то программа не помечает ход как правильный. Больше ошибок пока не видно.

Возведения в степень там точно не было. Список вот:
https://www.dropbox.com/s/v1gp0yp62kr1kdh/badticke...
Но я не помню, разрешался там унарный минус, или нет.
Дата создания файла 3 апреля 2013, но вряд ли это поможет.

UPD. habrahabr.ru/post/174715
К счастью, она была в хабе "алгоритмы".

Редко применяются. Главным образом, потому, что они хорошо выражаются через обычную экспоненту. Конечно, написать (exp(x)+exp(-x))/2 сложнее, чем cosh(x), но функция обычно нужна не сама по себе, а как часть большого выражения.
Логика подсказывает, что гиперболические функции удобно использовать для формул, связывающих углы и стороны треугольника на плоскости Лобачевского, но та же логика говорит, что в реальной жизни это нужно чуть реже, чем никогда. Можно встретить эти функции в каких-то задачах на теплопроводность... и получается ответ - используйте эти функции тогда, когда встретите их в справочнике. Из остальных случаев могу вспомнить только использование tanh() в формуле релятивистского сложения скоростей. Почему-то перейти от скорости к "быстроте" мне тогда показалось удобным.
Ну, и полезное применение tanh() - что она отображает всю числовую прямую на интервал (-1,1). Хотя для положительных чисел проще использовать x/(1+x).

Если это не прямые, а лучи, и направления a,b, лежащие от 0 до 360, то
min( abs(a-b), 360-abs(a-b) )

Если достаточно приближенной модели, можно сделать так:
r1=sqrt(x^2+y^2)
a=A*p/sqrt(p^2+x^2+y^2)
z=a*sin(k*r1-w*t)
где p - размер области в окрестности нуля с насильственно ограниченной амплитудой,
A - максимальная амплитуда (в нуле)
k - пространственная частота (т.е. 2*pi/k - расстояние между волнами)
w - временнАя частота (2*pi/w - период).
w/k - скорость распространения.

Строите матрицу перехода между рядами (43х43, как описано в ответе Andy_U ), потом возводите её в 9-ю степень (поскольку у нас 9 переходов) и считаете сумму всех элементов (поскольку первый и последний ряд могут быть любыми). Всё.
Работает для любого числа рядов, хоть для триллиона :) Только потребуется быстрое возведение в степень.
Но это будет число способов построить стену. Если имелось в виду число наборов кирпичей (сколько может быть кирпичей 3x1 и сколько 4x1), то надо подумать, как сделать проще всего.

Сумма двух парабол - это тоже парабола. Как и сумма любых двух многочленов - многочлен той же степени.
Возможно, график удастся представить в виде суммы двух нормальных распределений:
f(x)=a1*exp((x-b1)^2/c1)+a2*exp((x-b2)^2/c2).
Получается 6 неизвестных. Записываете функцию F(a1,b1,c1,a2,b2,c2)=sum((f(x_i)-y_i)^2) и ищете её минимум. Например, методом градиентного спуска.