Как правильно решать линейные уравнения методом Гаусса?

Question

[Znius]

Да простят меня модераторы за немного общий вопрос, но хотелось бы получить ответ профессионалов, обычные линейные уравнения размера 2x2, 3x3 я могу легко решить, но при решении уравнений с 4 неизвестными у меня возникает ступор:
1. Преподаватель нам объяснил, что нужно какую-либо строку умножить на число n и прибавить к другой строке чтобы получить ноль, но возник вопрос, можно ли прибавлять любые строки, то есть из любого места уравнения? Например 2 строку прибавить к 4 или 4 прибавить к 3
2. Нужно просто сделать так, чтобы в 1 строке остались нули и положительное/отрицательное число чтобы сразу найти корень?
3. Можно ли решить линейное уравнение просто перемножив уравнения на какие-то числа, чтобы в уравнениях остались 0?

Answer 1

[Mrrl]

1) Да, можно прибавлять любую строку, умноженную на любой коэффициент, к любой другой строке.
2) Нужно сделать так, чтобы во всех клетках (a,b), где a > b остались нули. Тогда матрица примет треугольный вид.
Например, из системы

x + y + z = 1
2*x + 3*y - z = 2
  -x + y + 2*z = 0

получится

x + y + z = 1
    y - 3*z = 0
        9*z = 1

После этого найти последовательно z, y, x
3) Можно, но вам не понравится. Надо считать миноры (определители матриц (N-1)*(N-1)). Но это будет уже не метод Гаусса.