Задаем кнопке submit атрибут name с именем, к примеру, submit_form.
Далее после отправки формы, проверяем пришла ли submit_form, если да, то отправляем email на почту админу :), примеру:
Все естественно утрировано
Есть такая форма:
<form action="/send.php" method="post">
<input type="text" name="first_field" />
<input type="text" name="second_field" />
<input type="submit" name="submit_form" />
</form>
Есть файл send.php
if (isset($_POST["submit_form"])) {
mail('admin@admin.com', 'Почта админу', $_POST['first_field'] . $_POST['second_field']);
}