Проверку на пустоту инпутов и добавления бордера рекомендую вам обдумать и переписать, что касается формы, правильнее делать так:
Пишите функцию, например
function sendForm(form) {
      // тут что-то происходит
  }
На сами формы вещаем обработчик (в качестве параметра функции передаем сам объект формы (помечен как this))
<form class="" action="" method="post" onsubmit="sendForm(this);return false;">
       </form>
В самой функции используем примерно следующее:
function sendForm(form) {
   $(form).find('.input-error').fadeOut();       
  }
Таким образом блок .input-error будет прятаться только  в той форме, с которой работает пользователь.
P.S чтобы было проще ориентироваться в своем коде, просто напишите отдельно функцию валидации и проверяйте ее, после чего отправляйте форму (в valid записываем результат выполнения функции):
function sendForm(form) {
      var valid = formValidation(form);
      if (valid) {
        $(form).find('.input-error').fadeOut();
        jQuery.ajax({
          url: "/mail/mail.php",
          data:$(form).serialize(),
          type: "POST",
          success:function(data){
            $('#orderModal').modal('hide');
            $('#successModal').modal('show');
            $(form).find('input[type="text"]').val('');
          },
          error:function (data){
            $(form).find('.form-error').html('Произошла какая-то ошибка. Попробуйте еще раз.').fadeIn();
          }
        });
      }
  }
Саму функцию formValidation(form) можно написать какую угодно. Если поле пусто, оно должно возвращать false, если вся проверка прошла успешно - то true. Работает так же для конкретно той формы, что вызывается.