Вы уж определитесь. Я ответил по роутам ларавел, вы сказали что используете vue-router.
Во vue-router наверняка тоже можно сделать что-то подобное. Там даже middleware можно прикрутить.
Я делал такую единую авторизацию, именно с использованием Passport. Так что - вперед.
З.Ы.: и да, авторизация на подключенных сайтах тоже должна проходить через site.ru в вашем примере.
Дичь какая-то. Так никто не делает. А те, кто думает так сделать, через некоторое время понимают, что можно (и нужно) сделать по-другому. Например, в конструкторе фронт-контроллера юзера получать, что автоматом даст доступ к нему всем наследникам. Либо трейтом.