Не верно работает работа с авторизацией, что делать?

разобрались?

Не верно работает работа с авторизацией, что делать?

Я не вижу у вас в коде валидатора регистрации и его использзования

Не верно работает работа с авторизацией, что делать?

Если вам так важен валидатор на форме входа, сделайте еще один, без правила confirmed для поля password

Как проверять наличие сессии и при её отсутствии переадресовывать на определенную страницу?

https://laravel.com/docs/5.2/controllers#controlle... например. Переадресацию настраиваете в самом посреднике.

Как сделать одну страницу для добавления\редактирования работы?

Проверьте где лежит этот контроллер и правильный ли в нем namespace

Как использовать расширение директив Blade в Laravel 5?

Как-будто директива не парсится. Родные директивы работают?

PHP добавляем строки в таблицу MySQL?

В id можно вообще ничего не передавать - ни NULL, ни пустую строку.