VelAnna

Если я правильно поняла вас, то:

return $form->field($model, 'position['. $model->id. ']')->textInput(['value' => $model->position, 'style' => 'width:50px'])->label(false);

Для этого нужно чтобы ваша форма отправлялась через ajax. Если не в курсе как это делается, то в гугле полно статей, первая попавшаяся.

Вам надо в той части кода, где происходит обработка удачного результата, вставить свой код для обновления содержимого элемента, например:

...
success: function(data) {
    $('#user').html('Мой кабинет');
}
...

По поводу плагинов сказать ничего не могу, но каме описан принцип работы счетчика посещений. Возможно что-то придется допилить под себя, но общий смысл понятен

Можно конечно. Для этих целей есть разные плагины, меня по аналогичной задаче (если я правильно поняла) полностью устроил бесплатный плагин Easy Watermark. Мне нужно было чтобы фото сохранялись на сервере именно с водным знаком

Вы хотя бы напишите ошибку, которая появляется при попытке отправить форму через ajax.

А вообще для начала стоит проверить работоспособность вашего кода напрямую, без ajax. Только надо добавить к форме action и кнопку сделать type="submit"
Если у вас ошибка в php, то так вы ее сразу увидите. А когда будет протестирован и отлажен php, можно будет сделать выполнение через ajax

Вы хотите содержимое alert добавить в блок на странице?
Если блок уже создан, допустим, то чистом js:

<div id="div-name"></div>
<script>
var myDiv= document.getElementById('div-name'), 
json = '<?php echo $s;?>',
data = JSON.parse( json );

myDiv.innerHTML = data.icestats.source.title;
</script>

На jquery:
$('#div-name').html(data.icestats.source.title);

Попробуйте получать данные так:

<td><?= $ev->category->name ?></td>
<span><?= $ev->type->name ?></span>