На бекенде это все делается, так как если вы будете писать в куки, локал сторедж и т.д., данные не будут синхронизироватся между вашими устройствами. Как вы это будете делать уже ваше дело. Обычно заводится отдельная таблица под это дело. На фронте вы либо получаете список ваших лайков, но тут аккуратно если данных много, либо же вы при каждом обращении за данными у которых может быть лайк проверяете лайкнуто оно или не лайкнуто текущим юзером