С высокой долей вероятности вы можете чистить кэш LiteSpeed просто вручную. Поищите у себя папку lscache (там внутри обычно "цифровые" подпапки: 1, 2, 3,...), если она есть, то с нужной периодичностью удаляйте её содержимое. Она может быть в корне ФС, не перепутайте только с директорией с плагином.
Также можно curl'ом. У вас есть какие-то правила в .htaccess, вы можете вызывать curl -isX PURGE https://VashSite.ru/index.php. Если будете вызывать curl с другого хоста, то его IP должен быть добавлен в список "Trusted".
Проверьте как это сработает с Вордпрессом:
Сначала зайдите на https://VashSite.ru/index.php браузером (или чем вы проверяете ответы) и убедитесь, что там X-Litespeed-Cache: hit.
Затем выполните команду выше. Потом сразу снова зайдите на https://VashSite.ru/index.php браузером, вы должны увидеть X-Litespeed-Cache: miss (если, конечно, кто-то не сделал такой запрос после сброса быстрее вас).
Насчёт Cloudflare не подскажу, не изучал, смотрите их доки. У них наверняка есть какой-то API, WebHook-и, или что-то подобное.
Простой