Пусть A, B:E→E, D(A) = D(B) = E. AB + A + I = 0, BA + A + I = 0. Доказать, что существует обратный оператор A^−1.
Чтобы доказать это, нужно показать, что образ A совпадает с E, и что ядро A нулевое.
Показать, что ядро нулевое, можно так:
Пусть Ax = 0, тогда подставляем этот x во второе уравнение, тогда получим BAx + Ax+ x = 0, то есть x = 0.
А вот с доказательством того, что образ совпадает с E, я не очень понял как.
То есть у нас должно быть такое условие: ∀ y ∈ E, ∃ x ∈ E, Ax = y, тогда они будут совпадать.
Но тут я немного туплю. Если это по аналогии подставить, как выше, там мало чего разумного можно получить.
Средний
