В любом случае придется ставить дополнительный софт. Это будет либо программа, которая может клонировать приложение, чтобы одно и то же приложение могло работать с разными аккаунтами.
Либо это будет...нормальный почтовик, который может одновременно работать с несколькими ящиками.
Можете попробовать например аутлук(я пользуюсь), или яндекс почту(вроде там тоже можно сторонния почты подключать). Когда приходит письмо на любой из ящиков - придет уведомление.
Или Вам обязательно чтобы дефолтный почтовик?