Под капотом сервиса алгоритм хэширования, дающий короткий хэш из допустимых в url символов.
Можно поискать готовый, можно накостылить свою реализацию.
Хранилищем сервиса в простейшем случае может быть key-value, где ключ, это хэш, а значение - исходная ссылка.