Как посчитать коэффициенты выигрышей в лото?

Question

[miki131]

Есть игра, похожая на Кено, где из 40 чисел выбираются 10.

Игрок может выбрать свой набор максимум из 10-ти чисел и, в зависимости от количества выбранных и угаданных чисел, его ставка умножается на разный коэффициент. Например, игрок выбрал 3 числа. Тогда его шансы таковы:

• угадать 0 чисел: 41,093%
  
• угадать 1 число: 44,028%
  
• угадать 2 числа: 13,664%
  
• угадать 3 числа: 1,215%
  

Для каждого из исходов считаем коэффициент по формуле 100 / вероятность. Получается:

• если угадал 0 чисел: 0
  
• если угадал 1 число: 2.271
  
• если угадал 2 числа: 7,319
  
• если угадал 3 числа: 82,305
  

Но с такими коэффициентами «казино» оказывается в крупном проигрыше. Например, 100 игроков сделали ставку по $1. Из них, по вероятностям, 1 число выиграют 44,028 и заберут, по ставке 2.271 2.271 * 44.028 = $99.9 – т.е. уже весь призовой фонд. А ещё 2 и 3 числа угадают - там тоже каждый вариант расходует по $100. Итого выплаты в 3 раза превосходят сделанные ставки.

Как расчитать коэффициенты, чтобы «казино» оставалось в плюсе, и ставки отражали реальную вероятность выигрыша?

Также подскажите, пожалуйста, литературу про такого рода игры и их математику: как вероятностную, так и финансовую.

Answer 1

[Сергей Соколов]

10 из 40 случайно выбирает машина, 3 из 40 выбирает игрок. Надо, для примера, найти вероятность выпадения всего 2.

Общее число случаев C(10,40) * C(3,40) – на него поделим число благоприятных вариантов. Это выбор 10 выигрышных C(10,40); из 10 надо выбрать 2 попадания C(2,10); из оставшихся 30 надо выбрать 1 промахнувшийся C(1,30) и всех их перемножить. Итого

Q(40,10,3,2) = C(10,40) * C(2,10) * C(1,30) / (C(10,40) * C(3,40))

Наверняка можно неплохо сократить что-то.

C(N, M) – число сочетаний
C(N, M) = M! / ( N! * (M-N)! )

Comments

[miki131]

Выигрыш получает по той ставке, сколько отгадал

Нельзя начислять по этим коэффициентам.

[Сергей Соколов]

miki131, почему же? Скажем, при вероятности 50% коэффициент получится 2. Всё честно.

[miki131]

Сергей Соколов, давайте на примере объясню.
Как я писал в вопросе, если вы выберите 3 числа, то шанс что все эти 3 числа буду в конечной "десятке" равен 1,215%. Коэффициент в этом случае будет х82,305.
Это коэффициент работает только в том случаем если есть только 2 исхода игры - угадал 3 числа и не угадал.
Понимаете?

[Сергей Соколов]

miki131, коэффициенты учитвают и число указанных версий, и число угаданных из них.

Т.е. для угадывания 2 чисел коэфф. будут разные при ставке по 3 числам и, скажем, по 5. Выше всего, разумеется, если поставил всего на 2 числа, и оба выиграли.

[miki131]

Сергей Соколов,

коэффициенты учитвают и число указанных версий, и число угаданных из них.

Я это понимаю. Я только для примера сделал что игрок выбирает 3 числа.
Но вот какими они будут? Как их считать?

[Сергей Соколов]

miki131, 10 из 40 случайно выбирает машина, 3 из 40 выбирает игрок. Надо, для примера, найти вероятность выпадения всего 2.

Общее число случаев C(10,40) * C(3,40) – на него поделим число благоприятных вариантов. Это выбор 10 выигрышных C(10,40) из 10 надо выбрать 2 попадания C(2,10) из оставшихся 30 надо выбрать 1 промахнувшийся C(1,30) и перемножить. Итого

Q(40,10,3,2) = 
C(10,40) * C(2,10) * C(1,30) / (C(10,40) * C(3,40))

Наверняка можно неплохо сократить что-то.

Вынес этот коммент в ответ.

[miki131]

Сергей Соколов, вы написали формулу для подсчета шансов.
Мне нужно на основании этих шансов считать коэффициенты.

[Сергей Соколов]

miki131, 100/шанс

[miki131]

Сергей Соколов, верно, это будут коэффициенты для игры в которой есть только 2 исхода - угадал или не угадал.

[Сергей Соколов]

miki131, да нет же. Это коефф. именно для выпавшего случая при сделанной ставке

[Сергей Соколов]

Возможные исходы не пересекаются: либо угадает 0, либо 1, либо ..., либо N. У каждого варианта есть своя вероятность => свой коэффициент. Вероятности всех исходов в сумме дают 1. Задача дискретная. Каждый конкретный исход можно изолировать и положить в отдельную коробочку. Остаётся эти коробки пересчитать. 1 красный коробок «угадал 3 из 3», 2 желтых «2 из 3», 3 зеленых «1 из 3», 4 черных «не угадал ни одного». Всё – это все вообще возможные исходы, других нет (числа вымышлены). В сумме 10 возможных исходов. Вероятность красного 1/10, и ставка на него принимается с коэфф. 1 / (1/10) = 10:1, на желтый, чья вероятность выше, коэфф. 5:1. На зеленый 3.33. На черный была бы 2.5, но это выигрыш заведения.