1. При запуске от root работает если запускать из любой папки? run-parts /home/user/script
2. Если работает, то проверьте наличие пустой строки в конце crontab
3. sudo crontab -e
у каждого пользователя свой crontab и если вы редактируете от имени обычного пользователя, то поднятие привилегий не сработает.
Для запуска cron от root редактируйте cron от root
1. не отрабатывает (Not a directory: /home/user/script)
2. не работает п.1 (пустая строка есть)
3. для sudo crontab -e нет в задачах запуска скрипта, но есть в crontab -e (для конкретного пользователя)
1. Для начала почините этот пункт. /home/user/script явно надо заменить на ваш путь.
3. Надо убрать из конкретного пользователя и перенести в sudo crontab -e
Это вообще в каком кронтабе?
Если это в пользовательском, то root - лишнее.
Если не в пользовательском, то подозреваю, что оно не находит run-parts - укажите полный путь к run-parts