Это типичная задача для заказного ПО.
Не CMS, не конструкторы.
Ну то есть весь сайт может быть и на CMS, а вот модуль работы с API придется делать самому.
Вариант:
Если этот сайт, предоставляющий API - известен. Тогда возможно кто-то уже написал нужный вам модуль. Дело за малым - найти этот модуль.