Оставляет-ли след TeamViewer?
Странный вопрос, не понятно о каких данных вы говорите и кому это должно быть видно.
Выражайтесь конкретнее.
Провайдеры всех компьютеров напишут в лог что были установлены соединения между компьютерами А,В,С и компьютером X, так же они напишут в лог, что означенные компьютеры соединялись с серверами тимвьювера.
В логе как минимум будет указаны - ip адреса, время, продолжительность соединения и объем переданной информации.
Сервера компании TeamViewer напишут в лог о том что пользователь с таким-то ID и с таким-то IP адресом подключался к компьютерам с такими-то ID и IP адресами.
Так же логи напишут хостеры, у которых размещаются сервера компании TeamViewer.
Если да - будет ли видно, что это один и тот же TeamViewer юзера Х?
Кому видно?
Дедушке Васе сидящему в Однокласниках это будет не видно, а вот админу серверов через которые идет трафик, или работнику компании тимвьювер, это будет вполне себе видно.
И если всё это палится - какие есть способы это избежать?
Не понятно что должно или не должно палиться, чего надо избежать и при каких вводных данных. Максимум что могу посоветовать не пользуйтесь тимвьювером и не управляйте дистанционно другими компьютерами, тогда это однозначно не будет видно.