Вам правильно сказали, что асинктаск - это не вариант. Правильное решение в такой ситуации -
Service. В самом начале можно создать сервис с помощью startService, в дальнейшем из каждой активити привязываться к нему с помощью bindService. Сервис работает в MainThread, поэтому задачи надо вынести в отдельный поток(но боже вас упаси использовать доя этого асинктаск). Посмотрите реализацию IntentService, это не совсем то, что вам нужно, но доделать до нужного легко.