Как строится доказательство этого примера?

Question

[KTG]

www.mat.net.ua/mat/biblioteka/Haggarti-Discretnaya...
Страница 33, пример 2.13

Докажите по индукции, что равенство 1+2+...+n = n(n+1)/2 выполнено при всех натуральных п.
Решение:
Пусть Р{п) — предикат 1+2+...+n = n(n+1)/2.
В случае n — 1 левая часть равенства — просто 1, а вычисляя правую часть, получаем 1(1+1)/2 = 1
Следовательно, Р(1) истинно.

Ну ок. С этим все понятно, подставили, проверили, а дальше?

Предположим теперь, что равенство 1 + 2 +... + к= к(к + 1)/2 - имеет место для какого-то натурального числа к.
Тогда
1 + 2 + ... + к + (к+1) = (1 + 2 + ... + к) + (к + 1) = к(к + 1)/2 + (к + 1) = 1/2 * ( к(к + 1) + 2(к + 1) ) = 1/2 * ( (к+2)(к+1) ) = ((к + 2)(к+1))/2
Таким образом, при любом натуральном к импликация Р(к) -> Р(к + 1)
справедлива. Значит, по принципу математической индукции, предикат Р(n) имеет истинное значение при всех натуральных n.

Я не уловил каким образом к(к+1)/2 будет доказательством ((к+2)(к+1))/2 , если это явно не одно и то же???

Answer 1

[KTG]

Вопрос отпал, половина решения в учебнике было съедено, как само собой разумеющееся.
Для понимания можно было бы сначала показать преобразованную правую часть, затем уже выводить левую. Тогда бы все сошлось без вопросов.

Для закрепления материала, может кто подскажет задачу на реальном примере? Что бы не слишком углубляться в логические рассуждения, но применить метод математической индукции.